Correction du sujet de contrôle 2020

Ici, l’énoncé est donné, sa correction étant donné en dessous. Du code Python a été utilisé pour faciliter les calculs, bien que calculable à la main, afin de donner des idées d’outils possibles et/ou de méthodes algorithmiques.

Exercice 1: 7 points

Charge Maximale

Nombre de câbles

[9,3 ;9,7]

2

[9,8 ;10,2]

5

[10,3 ;10,7]

12

[10,8 ;11,2]

17

[11,3 ;11,7]

14

[11,8 ;12,2]

6

[12,3 ;12,7]

3

[12,8 ;13,2]

1

Calculer la moyenne, la médiane, l’écart type et les quartiles de cette distribution.

Ci-dessous, code pour calcul rapide. Applicable à de nombreuses séries, lisibles facilement via pandas.read_csv(chemin au fichier). Voir la correction du TD de stat en Python pour plus de fonctions.

#importation standards des librairies pour plotter et calculer
import pandas as pd
from ipywidgets import interact, interactive, fixed, interact_manual, IntSlider
# Standard plotly imports
import chart_studio.plotly as py
import plotly.graph_objs as go
from plotly.offline import iplot, init_notebook_mode
# Using plotly + cufflinks in offline mode
import cufflinks as cf
cf.go_offline(connected=False)
init_notebook_mode(connected=False)
#Méthode de calcul des moyennes et écarts-types rapide
valeurs = [9.5,10,10.5,11,11.5,12,12.5,13]
nombres = [2,5,12,17,14,6,3,1]
dataForFrame = [[valeurs[k] for i in range(nombres[k])] for k in range(len(nombres))] #il est plus simple de créer une liste avec la charge répétée son nombre de fois
dataForFrame=sum(dataForFrame,[])
df=pd.DataFrame(data=[dataForFrame]).T #création d'un dataframe
df.columns=["Charge"] #on nomme les colonnes
df.describe() #décrire le dataframe donne accès à toutes les informations
#mean:moyenne
#std: standard deviation = écart-type
Charge
count 60.000000
mean 11.091667
std 0.739283
min 9.500000
25% 10.500000
50% 11.000000
75% 11.500000
max 13.000000

Le tableau nécessaire est ci-dessous (avec du code pour son affichage).

df2=pd.DataFrame(data=[valeurs,nombres]).T
df2.columns=["charge","nombres"]
df2["Fréquence (%)"]=df2["nombres"]/60*100
df2["Fréquence Cumulée (%)"]=df2["Fréquence (%)"]
for k in range(1,len(df2["Fréquence (%)"])):
    df2["Fréquence Cumulée (%)"][k]+=df2["Fréquence Cumulée (%)"][k-1]
df2
charge nombres Fréquence (%) Fréquence Cumulée (%)
0 9.5 2.0 3.333333 3.333333
1 10.0 5.0 8.333333 11.666667
2 10.5 12.0 20.000000 31.666667
3 11.0 17.0 28.333333 60.000000
4 11.5 14.0 23.333333 83.333333
5 12.0 6.0 10.000000 93.333333
6 12.5 3.0 5.000000 98.333333
7 13.0 1.0 1.666667 100.000000

Exercice 2: (4 points)

Soit X \(\sim\) \(\mathcal{U}([1,2])\). Montrer que \(\mathbb{E}[X]=\dfrac{3}{2}\) puis calculer \(V[X]\).

Exercice 3: (4 points)

Une route contient 6 feux tricolores alignés, dont les fonctionnements sont indépendants les uns des autres. On estime que chaque feu est vert les 3/4 du temps. Lorsqu’une voiture arrive, quelle est la probabilité:

  1. qu’elle ait tous les feux verts?

  2. qu’elle doive s’arrêter une fois?

  3. qu’elle doive s’arrêter au moins deux fois?

Correction:

Exercice 4: (5 points)

Des machines fabriques des plaques de tôle destinées à être empilées.

  1. Soit \(X\) la variable aléatoire “épaisseur de la plaque en mm”; on suppose que \(X\) suit une loi normale de paramètres \(m=0,3 \ mm\) et \(\sigma=0,1 \ mm\). Calculez la probabilité pour que \(X\) soit inférieur à \(0,36\) mm et la probabilité pour que \(X\) soit compris entre \(0.25\) et \(0,35\) mm. (Indication: En supposant que \(P(Y\leq 0,6)=0.726\)\(Y\sim \mathcal{N}(0,1)\) et que \(F(0,5)=0.6915\)\(F\) est la fonction de répartition d’une loi normale centré réduite).

  2. L’utilisation de ces plaques consiste à en empiler \(n\), numérotées de \(1\) à \(n\) les prenant au hazard: soit \(X_i\) la variable aléatoire “épaisseur de la plaque numéro \(i\) en mm” et \(Z\) la variable aléatoire “épaisseur des \(n\) plaques en mm”. Pour \(n=20\), quelle est la loi de \(Z\), son espérance et sa variance?

from math import sqrt
print(20*0.3,",",sqrt(20)*0.1)
6.0 , 0.447213595499958